Как выбрать эллиптический тренажер для дома

Длина дуги эллипса

Длина дуги плоской линии определяется по формуле:

l=∫t1t2(dxdt)2+(dydt)2dt.{\displaystyle l=\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}{\sqrt {\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}}}\,dt.}

Воспользовавшись параметрическим представлением эллипса, получаем следующее выражение:

l=∫t1t2a2sin2⁡t+b2cos2⁡tdt.{\displaystyle l=\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}{\sqrt {a^{2}\sin ^{2}t+b^{2}\cos ^{2}t}}\,dt.}

После замены b2=a2(1−e2){\displaystyle b^{2}=a^{2}\left(1-e^{2}\right)} выражение для длины дуги принимает окончательный вид:

l=a∫t1t21−e2cos2⁡tdt,e1.{\displaystyle l=a\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}{\sqrt {1-e^{2}\cos ^{2}t}}\,dt,\;\;\;e

Получившийся интеграл принадлежит семейству эллиптических интегралов, которые в элементарных функциях не выражаются, и сводится к E(t,e){\displaystyle E\left(t,e\right)}. В частности, периметр эллипса равен:

l=4a∫π21−e2cos2⁡tdt=4aE(e){\displaystyle l=4a\int \limits _{0}^{\pi /2}{\sqrt {1-e^{2}\cos ^{2}t}}\,dt=4aE(e)},

где E(e){\displaystyle E\left(e\right)} — .

Приближённые формулы для периметра

L≈4πab+(a−b)2a+b.{\displaystyle L\approx 4{\frac {\pi ab+(a-b)^{2}}{a+b}}.}

Максимальная погрешность этой формулы ~0,63 % при эксцентриситете эллипса ~0,988 (соотношение осей ~1/6,5). Погрешность всегда положительная.

Приблизительно в два раза меньшие погрешности в широком диапазоне эксцентриситетов дает формула:

L≈4⋅(ax+bx)(1x){\displaystyle L\approx 4\cdot \left(a^{x}+b^{x}\right)^{\left(1/x\right)}}, где x=ln⁡2ln⁡π2.{\displaystyle x={\frac {\ln 2}{\ln {\frac {\pi }{2}}}}.}

Максимальная погрешность этой формулы ~0,36 % при эксцентриситете эллипса ~0,980 (соотношение осей ~1/5). Погрешность также всегда положительная.

Существенно лучшую точность при ,05ab20{\displaystyle 0,05
обеспечивает формула Рамануджана:

L≈π3(a+b)−(3a+b)(a+3b).{\displaystyle L\approx \pi \left.}

При эксцентриситете эллипса ~0,980 (соотношение осей ~1/5) погрешность составляет ~0,02 %. Погрешность всегда отрицательная.

Ещё точней оказалась вторая формула Рамануджана:

L≈π(a+b)1+3(a−ba+b)210+4−3(a−ba+b)2{\displaystyle L\approx \pi (a+b)\left}

Точные формулы для периметра

Джеймс Айвори и Фридрих Бессель независимо друг от друга получили формулу для периметра эллипса:

L=π(a+b)1+∑n=1∞(2n−1)!!(2n−1)⋅2n⋅n!(a−ba+b)n2{\displaystyle L=\pi (a+b)\left^{2}\right]}

Альтернативная формула

L=2πaN(1−e2)M(1−e2),{\displaystyle L={\frac {2\pi aN(1-e^{2})}{M({\sqrt {1-e^{2}}})}},}

где M(x){\displaystyle M(x)} — Арифметико-геометрическое среднее 1 и x{\displaystyle x},
а N(x){\displaystyle N(x)} — 1 и x{\displaystyle x}, которое было введено С. Ф. Адлаем в статье 2012 года.

Какие нюансы следует учитывать при выборе

Определившись с конкретным видом эллипсоида, необходимо учесть и некоторые особенности конструкции, знание которых позволяет выбрать по-настоящему качественную и комфортную модель.

Максимальная нагрузка, выдерживаемая большинством эллипсоидов, составляет 120 кг. Оптимальным считается показатель на 10-15 кг больше, нежели собственный вес человека, собирающегося заниматься на тренажере.

Рама и корпус. Хорошее устройство обязательно имеет прочную раму, а каждая деталь плотно прилегает к другой. Никаких дефектов и люфтов быть не должно. С возрастанием длины рамы увеличивается степень комфорта и длина совершаемого шага. Стационарные прочнее складных, но преимуществом последних является то, что они удобны в хранении и не занимают много места во время тренировки.

Маховик. Представляет собой колесико, благодаря которому педаль приводится в движение. Чем больше его вес, тем лучше. Тяжелые маховики обеспечивают плавность совершаемых движений и хорошую нагрузку. Людям с весом от 95 или 100 кг следует отдавать предпочтение маховикам в 15 кг, а более хрупким — 8 кг.

Заднеприводной или переднеприводной. Первые отличаются тем, что маховик находится в задней части эллипсоида, то есть прямо между ногами тренирующегося. Это делает их максимально удобными для бега с наклоненным вперед туловищем и тренировок технике лыжного спорта. Пользоваться заднеприводными эллипсоидами могут люди абсолютно разного роста, что делает его идеальным выбором для всей семьи. Они устойчивы и малогабаритны. Переднеприводные модели стоят дороже заднеприводных, но, по мнению некоторых, гораздо эффективнее в борьбе с лишним весом, поскольку расстояния между педалями минимально.

Длина шага. Напрямую зависит от физической формы и индивидуальных особенностей. Новичкам и людям маленького роста следует приобретать модель, где длина шага составляет 30 см. В средней ценовой категории наиболее распространены эллипсы с 40 см длиной шага. Лучшими для тренировок кардио считаются тренажеры, где этот параметр начинается с 50 см, но они походят исключительно хорошо подготовленным пользователям.

Угол наклона педалей. Смена этого параметра реализована исключительно в дорогостоящих моделях. Она необходима продвинутым пользователям. Проводить смену угла наклона рекомендуется только тогда, когда полностью освоены все режимы нагрузки при стандартном положении. Благодаря изменению параметра меняется и группа прорабатываемых мышц.

В дорогих моделях эллиптических тренажеров на электронном дисплее отображается гораздо больше информации, нежели у представленных в среднем ценовом диапазоне, а также есть возможность менять нагрузку, встроены пульсозависимые программы. Последние работают за счет датчиков пульса, подключаемых к человеку и входящих в комплект тренажера.

Построение эллипса

Пусть даны две взаимноперпендикулярные прямые (оси будущего эллипса) и два отрезка длиной a (большая полуось) и b (малая полуось). Точку пересечения прямых обозначим как O, это центр эллипса.

7.1. С помощью циркуля

1. Раствором циркуля, равным a, с центром в точке O отметим на одной из прямых точки P₁ и Р₂, а на второй прямой раствором, равным b — точки Q₁ и Q₂. Полученные точки являются вершинами эллипса, а отрезки P₁Р₂ и Q₁Q₂ — его большая и малая оси, соответственно.
2. Раствором циркуля, равным a, с центром в точке Q₁ (или Q₂) отметим на отрезке P₁Р₂ точки F₁ и F₂. Полученные точки являются фокусами эллипса.
3. На отрезке P₁Р₂ выберем произвольную точку T. Затем с помощью циркуля начертим две окружности: первую — радиуса, равным длине отрезка TP₁, с центром в точке F₁ и вторую радуса, равным длине отрезка TP₂, с центром в точке F₂. Точки пересечения этих окружностей принадлежат искомому эллипсу, т.к. сумма расстояний из обоих фокусов равна длине большой оси 2a.
4. Повторяя необходимое число раз шаги предыдущего пункта, получим искомый эллипс.

7.2. С помощью циркуля и линейки

1. Раствором циркуля, равным a, с центром в точке O отметим на одной из прямой точки P₁ и Р₂, а на второй прямой раствором, равным b — точки Q₁ и Q₂. Полученные точки являются вершинами эллипса, а отрезки P₁Р₂ и Q₁Q₂ — его большая и малая оси, соответственно.
2. С помощью линейки проводим через точку O произвольную наклонную линию. Затем раствором циркуля, равным а, с центром в точке O отмечаем на ней точку S, а раствором, равным b — точку R.
3. Затем из точки S опускаем перепендикуляр на прямую P₁Р₂. Для этого произвольным раствором циркуля (но бо́льшим, чем расстояние от точки до прямой), с центром в точке S отмечаем на отрезке P₁Р₂ две точки, переносим в них циркуль и отмечаем тем же радиусом точку персечения окружностей S’. Затем с помощью линейки соединяем точки S и S’, это и есть искомый перпендикуляр.
4. Аналогичным способом опускаем перепендикуляр из точки R на прямую Q₁Q₂.
5. Точка пересечения построенных перпендикуляров принадлежит эллипсу.
6. Повторяя необходимое число раз шаги четырёх предыдущих пунктов, получим искомый эллипс.

7.3. С помощью двух иголок и нитки

Ссылка на видео для этого способа

Примем, что

• AA₁ = 2a — это большая ось эллипса,
• BB₁ = 2b — это малая ось эллипса,
• Точки F и F₁ — фокусы эллипса.

Этот способ основан на определении (фокальном свойстве) эллипса: эллипс — геометрическое место точек, сумма расстояний от каждой из которых до фокусов постоянна и равна 2a.

Для этого способа лист бумаги нужно приколоть к чертёжной доске.

1. В точки фокусов эллипса F и F₁ втыкаются две иголки (иглы́, булавки, кнопки, тонких гво́здика…)

2. К этим двум иголкам привязываются концы нити длиной 2a — нужно, чтобы между иголками F и F₁ было 2a длины нити. Это удобно осуществить так:

1. Берётся нитка длиной в несколько раз больше 2a.
2. Один из концов нити привязывается к иголке F.
3. В точку B втыкается третья иголка.
4. Нить кладётся на лист дальше иголки B от прямой FF₁, один раз (один виток) оборачивается вокруг иголки F₁ (так что может скользить по ней), затем, держа нить левой рукой за свободный конец, её натягивают вдоль ломанной FBF₁.
5. Свободный конец нити зажимается в кулаке левой руки, и кулак прижимают к листу бумаги в стороне от будущего эллипса — так, чтобы кулак (и нить) не перемещались ни в направлении к точке F₁ ни в направлении прочь от неё. Кулак держать так (зафиксированным) до тех пор, пока эллипс не будет построен.
6. Выдёргиваем (удаляем) иголку B (нить при этом утрачивает натяжение).

Примечание: Вместо точки B третью иголку можно было воткнуть в точку A.

3. Грифелем карандаша оттягиваем участок нити между иголками F и F₁ в сторону от прямой AA₁, натягивая нить.

4. Оттягивающий нить грифель карандаша прижимаем к бумаге и, скользя грифелем по натянутой нити от точки A до точки A₁, рисуем половину эллипса, лежащую по одну сторону от прямой AA₁.

5. Располагаем грифель карандаша по другую сторону от нити, оттягиваем нить в другую сторону от прямой AA₁ и, так же как первую, рисуем вторую половину эллипса.

7.3.1. Усовершенствование способа

Можно не привязывать нить ни к одной из иголок:

1. Так же втыкаем три иголки — в точки F, F₁ и B.
2. Треугольник FF₁B окружаем и обтягиваем нитью, и связываем концы натянутой нити — получается кольцо из нити. Длина кольца равна периметру треугольника FF₁B.
3. Выдёргиваем (удаляем) иголку B (кольцо из нити при этом утрачивает натяжение).
4. Грифелем карандаша оттягиваем нить в сторону от прямой FF₁, натягивая нить. Затем, удерживая нить натянутой, прижимаем грифель к бумаге и, скользя грифелем по натянутой нити вокруг отрезка FF₁, рисуем эллипс не двумя движениями руки с карандашом, а одним (круговым).

Примечание: Опять-таки, вместо точки B третью иголку можно было воткнуть в точку A.

Другие свойства

• Оптические
  • Свет от источника, находящегося в одном из фокусов, отражается эллипсом так, что отраженные лучи пересекутся во втором фокусе.
  • Свет от источника, находящегося вне любого из фокусов, отражается эллипсом так, что отраженные лучи ни в каком фокусе не пересекутся.
• Если F1{\displaystyle F_{1}} и F2{\displaystyle F_{2}} — фокусы эллипса, то для любой точки X, принадлежащей эллипсу, угол между касательной в этой точке и прямой (F1X){\displaystyle (F_{1}X)} равен углу между этой касательной и прямой (F2X){\displaystyle (F_{2}X)}.
• Прямая, проведённая через середины отрезков, отсечённых двумя параллельными прямыми, пересекающими эллипс, всегда будет проходить через центр эллипса. Это позволяет построением с помощью циркуля и линейки
  Тренажер эллипсоид — как правильно заниматься для похудения

  Эквивалентная формулировка: через середины двух любых параллельных хорд эллипса проходит какой-либо диаметр эллипса. В свою очередь, любой диаметр эллипса всегда проходит через центр эллипса.

  легко получить центр эллипса, а в дальнейшем оси, вершины и фокусы.

• Эволютой эллипса является астроида, вытянутая вдоль вертикальной оси.
• Точки пересечения эллипса с осями являются его вершинами.
• Эксцентриситет эллипса, то есть отношение e=ca=1−b2a2(⩽e1),{\displaystyle e={\frac {c}{a}}={\sqrt {1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}\;\;\;(0\leqslant e

  Если эксцентриситет эллипса равен нулю (что то же самое, что фокальное расстояние равно нулю: F1F2=0{\displaystyle F_{1}F_{2}=0}), то эллипс вырождается в окружность.

  характеризует вытянутость эллипса. Чем эксцентриситет ближе к нулю, тем эллипс больше напоминает окружность и наоборот, чем эксцентриситет ближе к единице, тем он более вытянут.

• Экстремальные свойства

  Если F{\displaystyle F} — выпуклая фигура и Tn{\displaystyle T_{n}} — вписанный в F{\displaystyle F} n{\displaystyle n}-угольник максимальной площади, то
  S(Tn)≥S(F)⋅nsin⁡(2⋅π/n)2⋅π,{\displaystyle S(T_{n})\geq S(F)\cdot {\frac {n}{\sin(2\cdot \pi /n)}}{2\cdot \pi },}

где S(F){\displaystyle S(F)} обозначает площадь фигуры F{\displaystyle F}

Более того: равенство достигается в том и только в том случае, если F{\displaystyle F} ограничено эллипсом.

.

Среди всех выпуклых замкнутых кривых, ограничивающих данную площадь, эллипсы и только они имеет максимальную аффинную длину.

Если произвольный эллипс вписан в треугольник ABC и имеет фокусы P и Q, тогда для него справедливо соотношение

PA¯⋅QA¯CA¯⋅AB¯+PB¯⋅QB¯AB¯⋅BC¯+PC¯⋅QC¯BC¯⋅CA¯=1.{\displaystyle {\frac {{\overline {PA}}\cdot {\overline {QA}}}{{\overline {CA}}\cdot {\overline {AB}}}}+{\frac {{\overline {PB}}\cdot {\overline {QB}}}{{\overline {AB}}\cdot {\overline {BC}}}}+{\frac {{\overline {PC}}\cdot {\overline {QC}}}{{\overline {BC}}\cdot {\overline {CA}}}}=1.}

Если лестницу (бесконечно тонкий отрезок прямой) прислонить к вертикальной стенке с горизонтальным полом, и один конец лестницы будет скользить по стенке (всё время касаясь её) а второй конец лестницы будет скользить по полу (всё время касаясь его), тогда любая фиксированная точка лестницы (не на её концах), будет двигаться по дуге некоторого эллипса. Это свойство остаётся верным, если мы возьмём точку не внутри лестницы-отрезка, а на её мыслимом продолжении. Последнее свойство используется в описанном выше.mw-parser-output .ts-Переход img{margin-left:.285714em} эллипсографе.

Касательная, проходящая через точку (x0,y0){\displaystyle (x_{0},y_{0})}, принадлежащую эллипсу, имеет следующее уравнение:

xxa2+yyb2=1.{\displaystyle {\frac {xx_{0}}{a^{2}}}+{\frac {yy_{0}}{b^{2}}}=1.}

Форма — эллипс

Пластинка, имеющая форму эллипса, наполовину погружена в жидкость ( вертикально), так что одна из осей ( длиной 2Ь) лежит на поверхности.
 

Цистерна агрегата имеет форму эллипса и установлена на шасси автомобиля КрАЗ — 255Б под углом 6 к горизонтали по направлению к задней части шасси, где расположено разгрузочное устройство.
 

Пластина, имеющая форму эллипса с полуосями а и Ь ( Ъ С а), погружена в жидкость плотности р так, что малая ось эллипса находится на поверхности жидкости.
 

Пластина, имеющая форму эллипса с полуосями а и b ( b а), погружена в жидкость плотности р так, что малая ось эллипса находится на поверхности жидкости.
 

Пластинка, имеющая форму эллипса, наполовину погружена в жидкость ( вертикально), так что одна из осей ( длиной ЧЪ) лежит на поверхности.
 

Пластинка, имеющая форму эллипса, наполовину погружена в жидкость ( вертикально), так что одна из осей ( длиной 2Ь) лежит на поверхности.
 

Пластинка, имеющая форму эллипса, наполовину погружена в жидкость ( вертикально), так что одна из осей ( длиной 2Ь) лежит на поверхности.
 

Статорное кольцо имеет форму эллипса, вследствие чего за один оборот ротора лопасти 5 дважды выдвигаются из пазов ротора и вдвигаются обратно.
 

Юбка поршня имеет форму эллипса, малая ось которого направлена параллельно оси поршневого пальца. В продольном сечении юбке поршня придана конусность, при этом нижнее основание конуса больше верхнегоУ поршней двигателей ЗМЗ на боковой поверхности имеются вырезы, позволяющие уменьшить вес поршня и дающие возможность свободно проходить поршню над противовесом. Юбка поршня покрыта слоем олова для лучшей приработки. На головке поршня имеются канавки для поршневых колец. Поршни карбюраторных двигателей имеют плоское днище.
 

Пластинка, имеющая форму эллипса, наполовину погружена в жидкость ( вертикально), так, что одна из осей ( длиной 2Ь) лежит на поверхности.
 

Пластинка, имеющая форму эллипса, наполовину погружена в жидкость ( вертикально), так что одна из осей ( длиной 2Ь) лежит на поверхности.
 

Гистерезисная петля в форме правильного эллипса, получаемая при малых периодических деформациях резины, обусловлена наличием некоторого сдвига фаз между мгновенными значениями, а следовательно и между максимумами напряжений и деформаций материала.
 

Генератор /, имеющий форму эллипса, вращается вокруг неподвижной оси А. Колесо 2 входит в зацепление с колесом 3, жестко связанным со стойкой. Колесо 4 входит в зацепление с колесом 5, вращающимся вокруг неподвижной оси В.
 

Постоянный магнит 3 имеет форму эллипса, поэтому в воздушном зазоре между магнитом и наружным колыши 4 образуется неравномерное магнитное поле.
 

Немного далее мы установим форму эллипса аналитически при помощи исследования его уравнения; уравнение эллипса выводится в следу ющем пункте.